[ Pobierz całość w formacie PDF ]
już posługiwać się przestrzenią wektorową zamiast abstrakcyjną algebrą i za pomocą tej pierwszej wykonywać
rozmaite rachunki, których reguły są dobrze znane. Krótko mówiąc, zabieg reprezentacji pozwala trudniejsze struktury
zastąpić łatwiejszymi.
Dla matematyków i fizyków teoretyków nie było niespodzianką, że istnieje związek między algebrami
nieprzemiennymi a rodzinami operatorów działającymi na przestrzeni Hilberta. Wiemy już, że to właśnie obserwable w
mechanice kwantowej {czyli operatory działające na przestrzeni Hilberta} dostarczyły jednego z pierwszych i
niewątpliwie najważniejszego przykładu algebry nieprzemiennej. Zasługą Connesa było nie to, że znalazł
reprezentację algebr nieprzemiennych w przestrzeni Hilberta [zwróćmy uwagę, że matematycy mówią o reprezentacji
algebry w przestrzeni Hilberta, choć ściśle rzecz biorąc własności reprezentowanej algebry przenoszą się nie na
wektory przestrzeni Hilberta, lecz na operatory, działające na tej przestrzeni], lecz to, że znalazł reprezentację
właściwą. W jakim sensie właściwą? Pamiętamy, że Connesowi udało się zdefiniować operacje różniczkowania i
całkowania w języku algebr nieprzemiennych. Reprezentacja Connesa bo tak będziemy ją nazywać jest
reprezentacją właściwą, ponieważ nie tylko przenosi ona własności algebraiczne z algebry nieprzemiennej na
operatory działające na przestrzeni Hilberta, lecz także własności różniczkowe i całkowe. Dzięki reprezentacji
Connesa wszystkie rachunki związane z geometrią nieprzemienną można wykonywać w dobrze pod tym względem
znanych przestrzeniach Hilberta.
Geometria nieprzemienna zyskała wiec mocne podstawy obliczeniowe. Nie znaczy to wcale, że rachunki
dotyczące geometrii nieprzemiennej są łatwe. Wręcz przeciwnie na ogół okazują się one trudne i pracochłonne. Ale
są wykonalne i co najważniejsze prowadzą do konkretnych, poznawczo ciekawych wyników. Dzięki temu
geometria nieprzemienna stała się pełnoprawnym, dynamicznie rozwijającym się działem nowoczesnej matematyki,
mającym coraz więcej zastosowań zarówno w innych działach matematyki, jak i w fizyce teoretycznej.
Geometrii nieprzemiennej oczywiście nie stosuje się tam, gdzie dobrze działa geometria tradycyjna. Istnieje jednak
wiele sytuacji uznawanych dotychczas za patologiczne (przykłady spotkaliśmy we wcześniejszych partiach tego
rozdziału), które przestają być takimi z punktu widzenia nowych metod. Dzięki geometrii nieprzemiennej matematyka
dokonała nowych podbojów. Dobrze oddaje to bardziej ogólną prawidłowość: nie istnieją z góry ustalone granice
matematyki, poza które nie można wyjść; wydaje się, że wszystko prędzej czy pózniej podda się matematycznym
badaniom, byle tylko odpowiednio rozwinąć metody matematyczne.
Po nieco dokładniejszym przyjrzeniu się geometrii nieprzemiennej rodzą się pytania. Czy matematyka jest już
gotowa, by skutecznie zmierzyć się z zagadnieniem osobliwości w kosmologii? Czy czasoprzestrzenie z
osobliwościami, dotychczas zachowujące się w sposób patologiczny, poddadzą się metodom geometrii
nieprzemiennej? Czy nie są one po prostu przestrzeniami nieprzemiennymi? Z pytań tych ukształtował się nowy
program badawczy, o którym opowiem w następnych rozdziałach.
ROZDZIAA 7
NIEPRZEMIENNA STRUKTURA OSOBLIWOZCI
Nowe narzędzie
W poprzednich rozdziałach mieliśmy okazję poznać różne aspekty złośliwej natury osobliwości, pojawiających się
w modelach kosmologicznych. Początkowo osobliwości wydawały się stosunkowo niegroznymi "punktami", w których
prawa przyrody tracą swoją ważność tylko dlatego, że zbyt daleko posunęliśmy się w zabiegu idealizowania badanej
rzeczywistości. Potem, gdy udało się podać w miarę zadowalające kryterium istnienia osobliwości, takie przekonanie
okazało się złudne. Wprawdzie osobliwości nie należą do czasoprzestrzeni, lecz do jej odpowiednio zdefiniowanego
brzegu, tkwią jednak głęboko w geometrycznej strukturze współczesnej teorii grawitacji. Słynne twierdzenia o istnieniu
osobliwości ustaliły to ponad wszelką wątpliwość. Prawdziwe kłopoty zaczęły się. gdy Schmidt, chcąc głębiej wniknąć
w naturę osobliwości, zaproponował jej nową definicję. Zgodnie z propozycją Schmidta osobliwości to punkty b-
brzegu czasoprzestrzeni. Konstrukcja tego brzegu jest elegancka i zgodna z duchem ogólnej teorii względności, ale
jak zauważyliśmy w niektórych zastosowaniach prowadzi do paradoksalnych wniosków: początek i koniec
zamkniętego wszechświata Friedmana okazują się tym samym punktem b-brzegu i w ogóle cała czasoprzestrzeń tego
wszechświata redukuje się do jednego punktu. Podobne patologie występują w wielu innych rozwiązaniach. Nie
pomogły próby uogólnienia pojęcia rozmaitości, które dotychczas stanowiło geometryczną podstawę wszystkich
badań dotyczących czasoprzestrzeni. Teorie przestrzeni różniczkowych, a potem strukturalnych tylko nieznacznie
poprawiły sytuację. Choć wyjaśniło się, dlaczego w niektórych przypadkach wszystko redukuje się do punktu, nie
udało się przejść przez tę przeszkodę. Wygląda to tak, jakby dotychczasowe metody wciąż byty niepełne lub miały "za
małą zdolność rozdzielczą", by przeniknąć do tego, co się naprawdę dzieje "za tym jednym punktem". Ale teraz oto
mamy do dyspozycji geometrię nieprzemienną. Jak pamiętamy z poprzedniego rozdziału, powołano ją do życia, by za
jej pomocą przestrzenie dotychczas uważane za patologiczne uczynić normalnymi obiektami badania. Czy nie należy
jej zastosować w odniesieniu do czasoprzestrzeni z osobliwościami? Pytanie to zadałem sobie, gdy po raz pierwszy
przeglądałem książkę Alaina Connesa poświęconą geometrii nieprzemiennej (por. rozdział 6). Natychmiast
opowiedziałem o tym mojemu współpracownikowi. Wiesławowi Sasinowi. Pytanie było zbyt kuszące, by pozostawić je
bez odpowiedzi. Wkrótce zabraliśmy się do pracy. Sądziliśmy, że jesteśmy do niej dość dobrze przygotowani.
Mieliśmy doświadczenie wyniesione z pracy nad przestrzeniami różniczkowymi i strukturalnymi. Teraz trzeba było
zamienić przemienne algebry funkcji na odpowiednie algebry nieprzemienne i postępować jak dotychczas. Tak się
przynajmniej wydawało na początku. Potem jednak okazało się, że trzeba zdobyć umiejętność myślenia w nowym,
zupełnie odmiennym środowisku pojęciowym. W wyniku wielomiesięcznych zmagań powstały dwa artykuły. W
niniejszym rozdziale pragnę opowiedzieć o tym, co się nam udało uzyskać.
Desyngularyzacja
Przystępujemy zatem do wykonania następującego zadania: mamy oto przed sobą czasoprzestrzeń z
osobliwościami, ściślej z osobliwościami, które tworzą b-brzeg tej czasoprzestrzeni (por. rozdział 4). W jaki sposób
czasoprzestrzeń z b-brzegiem zamienić na przestrzeń nieprzemienną? W poprzednim rozdziale dowiedzieliśmy się,
że należy w tym celu zamienić algebrę funkcji na czasoprzestrzeni z jej b-brzegiem na odpowiednią algebrę
nieprzemienną. Ale jak to zrobić, gdy czasoprzestrzeń jest silnie osobliwa? Pamiętamy, że na takiej czasoprzestrzeni
można określić tylko funkcje stale, które cały problem trywializują (sprowadzają całą przestrzeń, razem z
osobliwościami, do jednego punktu). Czy to nie niszczy pomysłu w zarodku? Otóż nie! Okazuje się, że w wypadku
przestrzeni osobliwych istnieje odpowiednia procedura postępowania. Trzeba najpierw na przestrzeni z
osobliwościami skonstruować pewien obiekt geometryczny, zwany grupoidem, i dopiero na nim wprowadzić algebrę
nieprzemienną (także wedle ściśle określonej receptury).
[ Pobierz całość w formacie PDF ]