[ Pobierz całość w formacie PDF ]
U\yteczność tego zakładu jest więc mniejsza ni\ u\yteczność
zatrzymania 1 600zł przy sobie, wynosząca 40. Tak więc status quo będzie
atrakcyjniejsze dla tego decydenta ni\ perspektywa losowania, pomimo \e
wartość oczekiwana wygranej w zakładzie jest identyczna jak kwota, która
trzeba by zainwestować. Powiemy, \e nasz decydent ma awersje do ryzyka.
Rozumowanie podobne do przedstawionego w przykładzie stanowi
podstawę do umownego, ale zgodnego z intuicją podziału decydentów na
skłonnych do ryzyka i na czujących awersje do ryzyka, no i na względem
ryzyka obojętnych.
Je\eli decydent woli gwarantowaną kwotę M od udziału w loterii w
której oczekiwana wygrana wynosi M, to mówimy, \e ma awersje do ryzyka.
Woli to znaczy, \e dla niego u\yteczność loterii jest mniejsza od
równowa\nej jej kwoty pieniędzy uzyskiwanej na pewno. Zauwa\my, \e
ryzykując, mógłby zyskać więcej, ale mógłby te\ stracić i tego się właśnie
obawia. Ryzykując czyli biorąc udział w przedsięwzięciu, którego modelem
Strona 30
A.Z. GRZYBOWSKI WYKAADY Z TEORII GIER I DECYZJI
jest loteria, w praktyce mo\e to być inwestycja giełdowa lub jakieś inne
przedsięwzięcie gospodarcze zamiast np. pewnej inwestycji w obligacje
skarbu państwa. Zauwa\my, \e taki decydent ma wklęsłą funkcję
u\yteczności, tak jak pokazano na poni\szym rysunku.
u(M)
u(r M1+(1-r)M2)
u(M2)
u(M1)
M2
M1
M
u([M1,M2] )=r u(M1)+(1-r)u(M2)
r
Na rysunku tym czerwona linia reprezentuje u\yteczności ró\nych
loterii (ró\ne punkty zale\ą od tego jakie jest prawdopodobieństwo r
wygranej M1). Widzimy, \e u\yteczności kwot równym wartościom
oczekiwanym loterii znajdują się ponad nimi tzn.
u(E([M1,M2]r))= u(r M1+(1-r)M2) > r u(M1)+(1-r)u(M2) = u([M1,M2]r )
czyli loterie są dla takiego decydenta mniej atrakcyjne.
Jest oczywiste, \e analogicznie argumentując mo\emy wykazać, \e
wypukła funkcja u\yteczności obserwowana w pewnym przedziale kwot
pienię\nych sygnalizuje skłonność decydenta do ryzyka, co w naszej
interpretacji ściśle rzecz ujmując oznacza, \e decydent ka\dą posiadaną
kwotę M uwa\a za mniej atrakcyjną od udziału w loterii, w której
Strona 31
A.Z. GRZYBOWSKI WYKAADY Z TEORII GIER I DECYZJI
oczekiwana wygrana wynosi M, a wygrane nale\ą do z rozwa\anego zakresu
kwot. Wynika te\ z naszych rozwa\ań, \e decydent obojętny wobec ryzyka
to taki którego funkcja ryzyka w zakresie obejmującym rozwa\ane w
problemie kwoty jest liniowa.
Na zakończenie wykładu poświęconego teorii u\yteczności
przedstawimy jeszcze jeden interesujący przykład. Pochodzi on z pracy M.
Allais z 1953 roku. Ilustruje on dwa wa\ne aspekty związane z
wykorzystywaniem tej teorii. Rozwa\my mianowicie sytuację, w której
decydent ma przed sobą trzy (nielosowe) perspektywy uporządkowane
następująco: P1>P2>P3. Zgodnie z poznaną teorią zawsze mo\emy tak
wybrać funkcję u\yteczności u, \e u(P1)=1 oraz u(P3)=0. Zatem wszystkie
mo\liwe preferencje decydenta zale\ą od wyboru wartości u2=u(P2).
Dokładniej, preferencje te od tej wartości nie zale\ą mamy na myśli jedynie
to, \e ró\ne mo\liwe preferencje odzwierciedlane są jednoznacznie przez
jedyny odpowiadający im wybór wartości u2.
Rozwa\my teraz dwie ró\ne loterie tych perspektyw. O ich postaci
decyduje wybór prawdopodobieństw wylosowania poszczególnych
perspektyw. Niech dla pierwszej loterii będzie to L1=[P1,P2,P3](p1,p2,p3) a dla
drugiej: L2=[P1,P2,P3](q1,q2,q3) . Zauwa\my, \e L1>L2 czyli u(L1)>u(L2) ma
miejsce wtedy tylko wtedy, gdy
p1-q1+(p2-q2)u2 > 0 (1.war)
Zatem nie znając dokładnych wartości funkcji, z samego faktu
jedynie, \e funkcja u\yteczności istnieje wnioskujemy ponad wszelką
wątpliwość , \e np. loteria [P1,P2,P3](0.4,0.2,0.4)> [P1,P2,P3](0.2,0.5,0.3) wtedy i
tylko wtedy, gdy [P1,P2,P3](0.5,0,0.5)> [P1,P2,P3](0.3,0.3,0.4), gdy\ dla obu tych
Strona 32
A.Z. GRZYBOWSKI WYKAADY Z TEORII GIER I DECYZJI
loterii warunek (1.war) ma postać identyczną. To ciekawe spostrze\enie,
ilustruje fakt, ze wiele mo\na się dowiedzieć o problemie decyzyjnym
jedynie na podstawie faktu, \e funkcja u\yteczności istnieje.
Ale przykład ma jeszcze jeden aspekt behawioralny. Pokazuje jak
trudno mo\e być zidentyfikować perspektywy stojące przed decydentem.
Rozwa\my dwie sytuacje praktyczne. W pierwszej z nich decydent ma do
wyboru (pierwsza perspektywa): dostać 5 milionów złotych od razu lub
(druga perspektywa) wziąć udział w losowaniu 10 milionów zł. , 5 milionów
zł lub niczego z prawdopodobieństwami odpowiednio: 0.1, 0.89, 0.01. Jaką
decyzję byś podjął?
W drugiej sytuacji mo\liwe są następujące nagrody (trzecia
perspektywa) 5 milionów zł lub nic z prawdopodobieństwami odpowiednio:
0.11, 0.89 lub (czwarta perspektywa) 10 milionów zł. lub nic z
prawdopodobieństwami 0.1, 0.9. Co teraz byś wybrał czytelniku?
Na czym polega istota i osobliwość tego przykładu?
Otó\ zgodnie z poprzednimi rozwa\aniami powinno być:
[10 mln, 5 mln, nic](0,1,0) > [10 mln, 5 mln, nic](0.1,0.89,0.01)
wtedy i tylko wtedy , gdy
[10 mln, 5 mln, nic](0, 0.11,0.89) > [10 mln, 5 mln, nic](0.1, 0, 0.9)
Badania behawioralne pokazują, \e przytłaczająca większość ludzi wskazuje
przeciwne znaki preferencji w przypadku tych loterii! Dlaczego?
Czy\by przeczyło to całej teorii, jak tą sprzeczność wyjaśnić?
Strona 33
[ Pobierz całość w formacie PDF ]